【27日目】積分の問題を解く

はじめに

　私が1回生の時に、微積分学の授業で課された次の問題を解きます。 $ \int^\infty_0 \frac{1}{1+x^p} dx$ $( p>1 )$

解く

　ベータ関数の別表示に形が似ているので、うまいこと置換積分でできないかなーって考えます。ベータ関数の定義式の被積分関数が $x$ と $1-x$ の積で表されるので、置換もこれらの積で表せたら嬉しい。0次の有理式にすれば積分区間も同じになりそう。こんな感じの発想で $x^p=\frac{t}{1-t}$ と置換すると、 $(与式)=\frac{1}{p}B(p,1-\frac{1}{p})=\Gamma(1+\frac{1}{p})\Gamma(1-\frac{1}{p})$